Les tests
En plus des cinq axiomes, il existe trois tests importants qui peuvent être souhaitables pour un indice de prix. Ces tests sont des propriétés agréables à avoir d’un index, mais ne sont pas aussi fondamentaux que les axiomes. Ils agissent comme un moyen de réduire davantage l’ensemble des indices de prix qui satisfont les cinq axiomes.
La formulation de ces tests nécessite la notion d’indice de quantité, une fonction \(Q\) identique à un indice de prix sauf que le rôle des prix et des quantités est inversé. Un indice de quantité mappe les quantités et les prix pour produire un nombre, bien qu’au lieu de donner la variation du prix au fil du temps, un indice de quantité donne la variation des quantités physiques au fil du temps. Un indice de quantité devrait également satisfaire les cinq axiomes (changer les prix avec les quantités).
Avec un indice de quantité en main, les trois tests clés sont les suivants.
Test de circularité \(I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = I(p_{k}, p_{0}, q_{k}, q_{0}) I(p_{t}, p_{k}, q_{t}, q_{k})\).
Test de produit \(I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) Q (q_{t}, q_{0}, p_{t}, p_{0}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{it}} {\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}}\).
Cohérence dans l’agrégation Pour toute partition de \(n\) marchandises en \(k = 1, \ldots, m\) groupes distincts, il existe une fonction \(\psi\) telle que \(\psi (I(p_{t }, p_{0}, q_{t}, q_{0}), V_{0}, V_{t}) = \sum_{k = 1}^{m} \psi (I(p_{kt}, p_{k0}, q_{kt}, q_{k0}), V_{k0}, V_{kt})\), où \(V_{kt} = \sum_{i = 1}^{n_{k}} p_{ikt} q_{ikt}\) est la valeur des biens \(n_{k}\) pour le groupe \(k\) dans la période \(t\), avec \(V_{t} = \sum_{k = 1}^{m} V_{kt}\) étant la valeur totale de la période \(t\), et si \(I(p_{kt}, p_{k0}, q_{kt}, q_{k0}) = c\) pour tous les groupes \(m\), alors \(I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = c\).
Le test de circularité est simple et exprime l’idée qu’un indice entre deux périodes peut être calculé en enchaînant l’indice pour des périodes consécutives ensemble. Le test de circularité légitime l’utilisation du chaînage lors du calcul d’un indice et l’utilisation des variations de prix d’une période à l’autre pour calculer un indice avec une période de base fixe. Il légitime également le rebasage d’un indice.
Le test de produit est également simple et indique que la variation de la valeur globale entre deux périodes peut être décomposée en un indice des prix et un indice des quantités. Les tests de produits légitiment l’utilisation d’indices de prix pour déflater les valeurs agrégées dans un cadre comptable national.
Le test de cohérence dans l’agrégation semble compliqué, mais exprime une idée simple: un indice de prix devrait être un agrégat de sous-indices, où l’agrégation ne dépend que de l’indice lui-même et de la valeur totale des biens pour chaque sous-indice. La cohérence dans l’agrégation légitime le calcul hiérarchique d’un indice de prix, où les indices de prix sont calculés pour des catégories de biens de plus en plus larges en utilisant la même formule d’indice tout au long, avec des parts de valeur comme poids.
Par exemple, l’indice Laspeyres satisfait le test du produit et le test de cohérence dans l’agrégation.12 Pour le test du produit, laissez l’indice de quantité être
\[\begin{align*} Q (q_{t}, q_{0}, p_{t}, p_{0}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{it}}{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}}, \end{align*}\]
(c’est l’indice de quantité de Paasche) pour que
\[\begin{align*} I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) Q (q_{t}, q_{0}, p_{t}, p_{0}) &= \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}}{\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}} \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{it}}{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}} \\ &= \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{it}}{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}}. \end{align*}\]
Pour le test de cohérence dans l’agrégation, laissez \(\psi (I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}), V_{0}, V_{t}) = V_0 I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0})\), pour que le test devienne
\[\begin{align*} I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{V_{k0}}{V_0} I(p_{kt }, p_{k0}, q_{kt}, q_{k0}). \end{align*}\]
L’indice de Laspeyres satisfait évidemment à cette condition puisque \(V_{k0} / V_0\) est la part des dépenses / revenus de la période 0 pour les produits du groupe \(k\).
L’indice Laspeyres ne satisfait pas le test de circularité, car un indice Laspeyres devrait être multiplié par un indice Lowe pour renvoyer un indice Laspeyres.↩︎