Indices hédoniques linéaires

La forme canonique du modèle hédonique \(h\) est une fonction linéaire des caractéristiques d’un bien, de sorte que \(h(X, 0) = \alpha_{0} + X \beta_{0}\) et \(h(X, 1) = \alpha_{1} + X \beta_{1}\), et donc

\[\begin{align*} E(\rho | X, t) = \alpha_{0} + t (\alpha_{1} - \alpha_{0}) + X \beta_{0} + t \cdot X (\beta_{1} - \beta_{0}). \end{align*}\]

Avec une forme linéaire pour le modèle hédonique, les prix de transaction sont exprimés comme une régression linéaire sur les caractéristiques d’un bien — les paramètres dans un modèle hédonique ne sont que des coefficients de régression de population. Le vecteur de paramètre \(\beta_{t}\) est généralement interprété comme un vecteur de prix implicites pour les caractéristiques non marchandes d’un bien. Cette interprétation découle d’une vue structurelle d’un modèle hédonique — le but ici est simplement de spécifier un modèle paramétrique pour la fonction de prix conditionnelle, \(E(\rho | X, t)\), donc \(\beta_{t}\) aucune interprétation particulière n’est nécessaire.34

Avec un modèle hédonique linéaire, et une indépendance conditionnelle entre les prix potentiels et le temps,

\[\begin{align*} \log (I^{Q}) = E(h (X, 1) - h (X, 0)) = \alpha_{1} - \alpha_{0} + E(X) (\beta_{1} - \beta_{0}). \end{align*}\]

La spécification d’un modèle pour \(E(\rho | X, t)\) a pour effet qu’un indice de prix de qualité constante a maintenant une forme paramétrique simple qui peut être utilisée pour assouplir la condition de chevauchement.35 Rien empêche d’utiliser un modèle non linéaire plus complexe, mais en application, le modèle hédonique est généralement linéaire.36

Ce type d’indice hédonique est parfois appelé modèle d’imputation hédonique, car il s’agit de l’indice géométrique formé en prenant le rapport des prix moyens prédits à partir des régressions linéaires du prix (log) sur les caractéristiques à deux moments. Comme mentionné dans la section précédente, cependant, tous les indices de prix hédoniques ont cette forme, que le prix moyen soit modélisé en fonction linéaire des caractéristiques ou non. Par conséquent, le label “imputation hédonique” n’est pas très utile et conduit à une variété d’indices de prix hédoniques “différents” qui sont vraiment tous la même chose.

Un avantage de spécifier un modèle linéaire pour \(E(\rho | X, t)\) est que l’index résultant a une forme très intuitive:37

\[\begin{align*} \log (I^{Q}) =& \underbrace{E(\rho | t = 1) - E(\rho | t = 0)}_{\text{indice des prix de transaction}} \\ & + \underbrace{[E(X | t = 0) - E(X | t = 1)] [\beta_{0} P (t = 1) + \beta_{1} P (t = 0)]}_{\text{terme de correction}}. \end{align*}\]

À condition que l’indépendance conditionnelle soit respectée et que le prix de transaction moyen soit une fonction linéaire des caractéristiques des marchandises vendues, l’indice de qualité constante peut être décomposé en un indice géométrique des prix de transaction et un terme de correction qui capture le changement dans la composition de caractéristiques du produit au fil du temps. Le terme de correction prend la variation moyenne des caractéristiques au fil du temps et l’utilise pour ajuster l’indice des prix de transaction — le terme \(\beta_{0} P(t = 1) + \beta_{1} P(t = 0)\) détermine si l’augmentation de la présence d’une caractéristique augmente en moyenne les prix ou non. Par exemple, si les produits de la période 1 ont, en moyenne, plus de caractéristiques positivement associées au prix, le terme de correction exercera une influence négative sur l’indice des prix de transaction pour arriver à un indice de qualité constante. En effet, l’indice des prix de transaction affichera une augmentation des prix au fil du temps en partie parce que les marchandises vendues au cours de la période 1 sont de meilleure qualité que celles vendues au cours de la période 0, et se seraient vendues plus pendant la période 0 que les marchandises qui vendus au cours de la période 0. Par conséquent, l’indice des prix de transaction surestime la variation pure des prix, d’où le terme de correction négatif.

Le calcul d’un indice de prix hédonique linéaire est facile, car

\[\begin{align*} E(\rho | X, t) &= \alpha_{0} + t (\alpha_{1} - \alpha_{0}) + X \beta_{0} + t \cdot X (\beta_{1} - \beta_{0}) \\ &= \alpha_{0} + t (\alpha_{1} - \alpha_{0} + E(X) (\beta_{1} - \beta_{0})) + X \beta_{0} + t ( X - E(X)) (\beta_{1} - \beta_{0}) \\ &= \alpha_{0} + t \log (I^{Q}) + X \beta_{0} + t (X - E(X)) (\beta_{1} - \beta_{0}). \end{align*}\]

L’indice hédonique n’est alors que le coefficient d’une variable temps fictive dans une régression linéaire, et est donc extrêmement facile à calculer.

Il convient de conclure cette section en notant que, dans presque tous les cas, il est supposé que le prix de transaction moyen est une fonction linéaire des caractéristiques. Il existe cependant un cas intéressant où cette hypothèse est toujours correcte. Si les marchandises sont partitionnées par leurs caractéristiques, de sorte que chaque combinaison de \(x\) pour \(X\) appartient à son propre groupe et obtient son propre paramètre dans le modèle hédonique à chaque instant, alors \(E(\rho | X, t)\) est nécessairement linéaire. Dans ce cas, l’indice de prix hédonique est simplement un indice de prix stratifié. De cette façon, l’indice de prix hédonique linéaire est un type d’indice de prix plus général que l’indice stratifié et trouve sa valeur lorsque l’indice stratifié ne peut pas être calculé en raison d’un échec de chevauchement.

  1. Il y a quelques problèmes théoriques avec la spécification d’un modèle hédonique linéaire — voir Hausman (2003) pour un exemple quand un IPC est censé mesurer les changements du coût de la vie, et Rosen (1974), généralement considéré comme le fondement conceptuel de l’approche hédonique.↩︎

  2. Le chevauchement n’est pas complètement disparu- - les marchandises doivent encore être vendues au cours des deux périodes et, à chaque instant, aucune des caractéristiques de \(X\) ne peut être une combinaison linéaire les unes des autres — mais n’est pas aussi onéreuse qu’avec un indice stratifié.↩︎

  3. Il est facile de montrer qu’un ensemble de coefficients de régression linéaire pour la régression de \(X\) sur \(y\) résout le problème suivant: \(\min_{b \in \mathbb {R}^{k}} E[(E(y | X) - Xb)^{2}]\). Autrement dit, une régression linéaire donne l’approximation linéaire de l’erreur quadratique moyenne minimale à la fonction d’attente conditionnelle. Par conséquent, même si le prix moyen est une fonction non linéaire des caractéristiques, le modèle hédonique linéaire peut toujours donner une bonne approximation.↩︎

  4. Pour le montrer directement, notez que \(E(\rho | t) = E(E(\rho | X, t)) = E(\alpha_{t} + X \beta_{t} | t) = \alpha_{t} + E(X | t) \beta_{t}\).↩︎