Indices géométriques des prix
Un indice de prix géométrique est entièrement analogue à un indice arithmétique, sauf que les prix relatifs sont agrégés avec une moyenne géométrique au lieu d’une moyenne arithmétique. Autrement dit, un indice géométrique général des prix est donné par5
\[\begin{align*} I^{G} = \prod_{i = 1}^{n} \left(\frac{p_{i1}}{p_{i0}} \right)^{\omega_{i}}. \end{align*}\]
Comme pour les indices arithmétiques, différents indices géométriques correspondent à différents choix pour les poids.6
Indice de Jevons. La définition de \(\omega_{i} = 1 / n\) entraîne l’index Jevons
\[\begin{align*} I^{G}_{J} = \prod_{i = 1}^{n} \left(\frac{p_{i1}}{p_{i0}} \right)^{1 / n}, \end{align*}\]
ou équivalent,
\[\begin{align*} I^{G}_{J} = \frac{\prod_{i = 1}^{n} p_{i1}^{1 / n}}{\prod_{i = 1}^{n} p_{i0}^{1 / n}}. \end{align*}\]
L’indice de Jevons est l’analogue géométrique de l’indice de Carli ou Dutot.
Indice géométrique de Laspeyres. La définition de \(\omega_{i} = p_{i0} q_{i0} / \sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}\) entraîne l’index géométrique de Laspeyres
\[\begin{align*} I^{G}_{L} = \prod_{i = 1}^{n} \left(\frac{p_{i1}}{p_{i0}} \right)^{\frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}}}. \end{align*}\]
Similaire à l’indice de Jevons, il s’agit de l’analogue géométrique de l’indice de Laspeyres. Il est également trivial de définir un indice géométrique de Young en utilisant la part des dépenses / recettes de la période-\(b\) plutôt que celle de la période 0.7
Indice de Törnqvist. Réglage
\[\begin{align*} \omega_{i} = \frac{1}{2} \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}} + \frac{1}{2} \frac{p_{i1} q_{i1}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j1} q_{j1}} \end{align*}\]
résulte en l’indice de Törnqvist, qui est généralement exprimé en
\[\begin{align*} \log(I^{G}_{T}) = \sum_{i = 1}^{n} \left(\frac{1}{2} \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}} + \frac{1}{2} \frac{p_{i1} q_{i1}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j1} q_{j1}} \right) \log\left(\frac{p_{i1}}{p_{i0}} \right). \end{align*}\]
L’indice de Törnqvist développe l’indice géométrique de Laspeyres en utilisant les parts de dépenses à la fois pour la période 0 et la période 1 pour former des pondérations (c’est-à-dire la part des dépenses moyennes entre la période 0 et la période 1).
L’indice de Jevons est généralement synonyme d’index géométrique, et il trouve application dans des situations où il n’y a pas d’informations de quantité pour former des poids (par opposition à l’utilisation d’un index Carli ou Dutot). Parfois, un indice de Jevons pondéré est utilisé comme raccourci pour l’indice géométrique général.
Un point à noter à propos des indices géométriques est qu’ils sont toujours plus petits que leurs homologues arithmétiques. Pour tout poids donné, on peut montrer que \(I^{G} \leq I^{A}\), avec égalité uniquement lorsque tous les prix relatifs sont égaux ou tous les prix relatifs sauf un ont un poids nul. Par conséquent, un indice géométrique montre toujours une augmentation des prix plus faible dans le temps (ou une diminution plus importante) que l’indice arithmétique correspondant.8 C’est un inconvénient important d’avoir un menu de nombres d’index parmi lesquels choisir, car le choix de la formule de nombre d’index a un impact sur la mesure de l’inflation qui en résulte.9
La lettre majuscule pi \(\Pi\) est l’opérateur du produit. Pour une collection de nombres \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\), \(\prod_{i = 1}^{n} x_{i}\) signifie \(x_{1} \times x_{2} \times \ldots \times x_{n}\).↩︎
Il est intéressant de noter que les poids peuvent également être choisis de sorte que tout indice géométrique soit également un indice arithmétique (et vice versa). Autrement dit, pour tout \(\omega_{i}\), il existe un \(\tilde{\omega}_{i}\) tel que \(\prod_{i = 1}^{n} (p_{i1} / p_{i0})^{\omega_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} \tilde{\omega}_{i} p_{i1} / p_{i0}\). Voir Balk (2008Section 4.2) pour voir à quoi ressemblent ces poids. Cadrer un index comme arithmétique ou géométrique est vraiment juste un cas de cadrage des poids.↩︎
La définition d’un indice géométrique de Lowe est moins évidente. Par exemple, l’indice géométrique de Paasche utilise les parts des dépenses / recettes de la période 1 comme pondérations, au lieu des pondérations hybrides utilisées pour l’indice arithmétique de Paasche. Peut-être un meilleur nom pour cet index serait l’indice de Palgrave géométrique.↩︎
La différence entre un indice arithmétique et un indice géométrique a tendance à être plus grande lorsque les prix relatifs sont plus dispersés, bien que cela n’est pas toujours le cas. Il est possible que la différence devienne plus grande lorsque la variance entre les prix relatifs devient plus petite — voir Lord (2002).↩︎
Le même raisonnement peut être utilisé pour montrer qu’un indice de prix harmonique est toujours plus petit que l’indice géométrique correspondant — voir Bullen (2003II 2.1 Corollaire 2).↩︎