Indépendance conditionnelle

La configuration de l’indice stratifié suit de près la configuration de l’indice général de qualité constante dans la section précédente, sauf que les caractéristiques d’un bien doivent être explicitement modélisées. Pour ce faire, supposons que \(X\) soit un vecteur (aléatoire) de caractéristiques observables sur lesquelles les biens peuvent être stratifiés. Dans le contexte du logement, par exemple, \(X\) peut inclure la superficie en pieds carrés, le nombre de chambres et l’âge de la maison. Chaque strate correspond à une réalisation différente de \(x\) pour \(X\) (par exemple, maisons de 1500 à 2500 pieds carrés, 3 chambres à coucher et âgées de 10 à 25 ans).

L’indice géométrique des prix de transaction entre la période 0 et la période 1 pour la strate \(x\) compare les prix de transaction moyens dans le temps pour les biens de la strate \(x\), et est donné par

\[\begin{align*} \log (I^{T}_{x}) = E(\rho | X = x, t = 1) - E(\rho | X = x, t = 0). \end{align*}\]

Si le prix potentiel est indépendant du temps, en fonction des caractéristiques utilisées pour stratifier les biens, les sous-indices de chaque strate, calculés avec les prix de transaction, ont une interprétation de qualité constante. Formellement, ceci est l’hypothèse d’indépendance conditionnelle \(\{p(1), p(0)\} \perp t | X\), l’analogue intra-strate de l’hypothèse d’indépendance de la section précédente. Pour chaque strate, si un bien se vend pendant la période 0 ou la période 1 est essentiellement dû au hasard, il n’y a donc pas de différences systématiques entre les biens qui se vendent pendant la période 0 et la période 1 qui influencent les prix au sein d’une strate. Autrement dit, la seule raison pour laquelle les prix potentiels pourraient changer avec le temps est due à un changement dans la composition de la caractéristiques \(X\) — une fois que ces caractéristiques sont maintenues fixes, tout changement des prix observés dans le temps doit être un pur changement de prix.

Formellement, avec une indépendance conditionnelle, il faut que \(E(\rho(t) | X, t) = E(\rho(t) | X)\) pour \(t = 0,1\), et donc

\[\begin{align*} \log (I^{T}_{x}) &= E(\rho(1) | X = x, t = 1) - E(\rho(0) | X = x, t = 0) \\ &= E(\rho(1) | X = x) - E(\rho(0) | X = x). \end{align*}\]

L’indépendance conditionnelle donne un indice de qualité constante pour chaque strate qui coïncide avec l’indice des prix de transaction pour cette strate.

Dans le cas extrême où les biens sont regroupés en paires dans le temps, de sorte que chaque strate contient deux biens, l’indice stratifié n’est qu’un indice de modèle apparié pur. Pour voir cela, énumérez la population de paires par \(i = 1, \ldots, n_{p}\) de sorte que

\[\begin{align*} I^{Q} = \prod_{i = 1}^{n_{p}} \left(\frac{p_{i1}}{p_{i0}} \right)^{\omega_{i}}, \end{align*}\]

où \(P(X = x) = \omega_{i}\) et \(p_{it}\) est le prix du bien en paire \(i\) qui se vend pendant la période \(t = 0,1\). L’indépendance conditionnelle est valable pour un indice de modèle apparié si les biens de chaque paire sont suffisamment similaires dans le temps pour que le prix de transaction du bien qui se vend au cours de la période 0 donne une bonne référence pour ce que le bien qui vend au cours de la période 1 aurait vendu au cours de la période 0. Cela montre également que les formules d’index standard sont des cas particuliers de l’indice stratifié et supposent implicitement une indépendance conditionnelle.

Il convient de souligner que l’indépendance conditionnelle n’est pas une hypothèse vérifiable. C’est intrinsèquement une hypothèse économique sur la façon dont les marchandises se vendent au fil du temps. Mais c’est ce qui permet d’identifier un indice de qualité constante à partir d’un indice de prix de transaction.