Les axiomes
Il existe cinq axiomes clés que tout indice de prix devrait satisfaire pour toutes les collections de prix et de quantités. Ces axiomes peuvent être considérés comme généralisant les propriétés du rapport des prix entre la période \(t\) et la période 0 pour un seul bien ou service à des environnements avec de nombreux biens et services.
Monotonie \(I(p'_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0})> I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0})\) if \(p'_{t} \geq p_{t}\) and \(p'_{t} \neq p_{t}\) et \(I(p_{t}, p'_{0}, q_{t}, q_{0}) <I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0})\) if \(p'_{0} \geq p_{0 }\) et \(p'_{0} \neq p_{0}\).
Homogénéité linéaire \(I(cp_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = cI(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0})\) pour tout \(c> 0\).
Identité \(I(p_{0}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = 1\).
Homogénéité du degré zéro \(I(cp_{t}, cp_{0}, q_{t}, q_{0}) = I(p_{t}, p_{0}, q_{t} , q_{0})\) pour tout \(c> 0\).
Invariance dimensionnelle Si \(A\) est une matrice diagonale de nombres positifs, alors \(I(Ap_{t}, Ap_{0}, A^{-1} q_{t}, A^{-1} q_{0}) = I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0})\).
Tous ces axiomes sont assez simples à comprendre d’après leur représentation mathématique, peut-être à l’exception de l’invariance dimensionnelle, et sont assez intuitifs. La monotonie signifie simplement qu’un indice de prix augmente dans les prix de la période \(t\) et diminue dans les prix de la période 0 — les prix \(t\) de la période plus grande produisent des valeurs d’indice plus élevées et les prix de la période 0 plus grands produisent des valeurs d’indice plus petites. Cela semble être une condition nécessaire pour qu’un indice des prix puisse mesurer de manière significative l’inflation, car un indice qui ne satisfait pas à la monotonie peut diminuer lorsque les prix augmentent.
L’homogénéité linéaire est probablement la moins intuitive des axiomes, et dit que multiplier tous les prix de la période \(t\) par une constante équivaut à multiplier l’indice entier par une constante, de sorte qu’une augmentation proportionnelle des prix se traduit par une augmentation proportionnelle du indice. Pour voir pourquoi cela a du sens, considérons deux villes (A et B) qui ont toutes les mêmes prix dans la période 0. Si tous les prix dans la ville A augmentent de deux fois plus que les prix dans la ville B entre la période 0 et la période \(t\), les quantités achetées restant les mêmes dans les deux villes (car les prix relatifs sont les mêmes dans les deux villes), alors il est raisonnable de dire que les prix dans la ville A ont augmenté deux fois plus que dans la ville B.
L’axiome identitaire est simple et indique qu’un indice des prix ne montre pas de changement de prix si les prix ne changent pas. Comme l’axiome de monotonie, cela semble être une exigence nécessaire pour un indice des prix pour mesurer l’inflation; sinon, un indice des prix pourrait montrer une variation des prix lorsque les prix ne changent pas avec le temps.
L’homogénéité du degré zéro signifie que la multiplication de tous les prix par une constante n’a aucun impact sur un indice — la devise dans laquelle les prix sont mesurés n’affecte pas la valeur d’un indice de prix. Une formule d’indice qui ne satisfait pas à l’homogénéité du degré zéro peut donner une mesure différente de l’inflation en fonction du prix des devises et ne peut pas être utilisée pour comparer l’inflation dans différents pays.
L’invariance dimensionnelle semble complexe, mais elle dit simplement que le changement des unités de mesure ne change pas la valeur de l’indice. Un indice de prix ne devrait pas changer si tous les prix sont multipliés par une constante et toutes les quantités sont divisées par la même constante — un indice de prix ne devrait pas dépendre des unités de mesure.
Par exemple, il est simple de voir que l’indice de Laspeyres satisfait les cinq axiomes.
Pour la monotonie,
\[\begin{align*} I(p'_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p'_{it} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}}> \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}} = I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) \end{align*}\]
chaque fois que chaque \(p'_{it} \geq p_{it}\), avec au moins un strictement supérieur. L’inverse est vrai si chaque \(p'_{i0} \geq p_{i0}\), avec au moins un strictement supérieur.
Pour une homogénéité linéaire,
\[\begin{align*} I(cp_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} cp_{it} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}} = \frac{c \sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}} = cI(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) \end{align*}\]
pour tout \(c> 0\).
Pour l’identité,
\[\begin{align*} I(p_{0}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}}{\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}} = 1. \end{align*}\]
Pour l’homogénéité du degré zéro,
\[\begin{align*} I(cp_{t}, cp_{0}, q_{t}, q_{0}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} cp_{it} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} cp_{i0} q_{i0}} = \frac{c \sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}} {c \sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}} = I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) \end{align*}\]
pour tout \(c> 0\).
Pour l’invariance dimensionnelle, si
\[\begin{align*} A = \begin{bmatrix} a_1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix} \end{align*}\]
puis
\[\begin{align*} I(Ap_{t}, Ap_{0}, A^{- 1} q_{t}, A^{- 1} q_{0}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} p_{it} a_{i}^{- 1} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} p_{i0} a_{i}^{- 1} q_{i0}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}} = I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}). \end{align*}\]
Il devrait être assez sûr de dire que tout indice de prix raisonnable devrait satisfaire ces axiomes. Bien qu’il existe de nombreux indices de prix qui le font, les axiomes fonctionnent pour exclure des formules de nombre d’indices déraisonnables qui n’ont aucun sens pour mesurer les variations de prix.