Approximation d’un indice économique

Un indice des prix économiques ne peut pas être calculé directement dans la pratique. Il n’ya aucun espoir de calculer un indice des prix des intrants ou des prix des extrants sans connaître la technologie de production de l’entreprise, car la forme de la fonction de dépenses ou de revenus des entreprises est inconnue. Le problème est encore plus grave pour un indice du coût de la vie, car il nécessite la connaissance des préférences des consommateurs pour construire la fonction de dépense du consommateur. Le mieux que l’on puisse faire est d’approximer un indice économique en utilisant des données sur les prix et les quantités observables. Les indices arithmétiques de Laspeyres et géométriques de Laspeyres offrent une bonne approximation soit du prix des intrants, soit de l’indice des prix des extrants, soit de l’indice du coût de la vie, au moins selon une approximation de premier ordre.

L’argument pour approximer un indice économique avec un Laspeyres arithmétique ou un Laspeyres géométrique est le même pour un indice des prix des intrants, un indice des prix des extrants et un indice du coût de la vie, et donc l’attention se limite à l’approximation d’un prix des intrants indice. Pour montrer que l’indice de Laspeyres se rapproche de l’indice des prix des intrants, rappelons que

\[\begin{align*} e(p_{0}, y_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}. \end{align*}\]

On peut maintenant montrer que la meilleure approximation linéaire de la fonction de dépense avec les prix de la période \(t\) est

\[\begin{align*} e(p_{t}, y_{0}) \approx \sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0} \end{align*}\]

chaque fois que les prix de la période \(t\) ne sont pas trop différents des prix de la période 0.18 Par conséquent

\[\begin{align*} \frac{e(p_{t}, y_{0})}{e(p_{0}, y_{0})} \approx \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0}} {\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} q_{i0}}, \end{align*}\]

au moins pour les petits changements de prix.

De même, pour les Laspeyres géométriques, la meilleure approximation linéaire est basée sur

\[\begin{align*} \log(e(p_{t}, y_{0})) - \log(e(p_{0}, y_{0})) \approx \sum_{i = 1}^{n} \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}} \log \left(\frac{p_{it}}{p_{i0}} \right ). \end{align*}\]

Donc

\[\begin{align*} I^{C} &= \exp(\log(e (p_{t}, y_{0})) - \log(e (p_{0}, y_{0}))) \\ &\approx \exp\left(\sum_{i = 1}^{n} \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0 }} \log\left(\frac{p_{it}}{p_{i0}} \right) \right) \\ &= \prod_{i = 1}^{n} \left(\frac{p_{it}}{p_{i0}} \right)^{\omega_{i0}} \end{align*}\]

où \(\omega_{i0} = p_{i0} q_{i0} / \sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}\) est le poids des dépenses de la période 0 pour un bon \(i\). Comme un indice géométrique est toujours plus petit que son indice arithmétique correspondant et que l’indice de Laspeyres est trop grand par rapport à l’indice des prix des intrants (c.-à-d. Que l’erreur d’approximation est toujours positive en raison du biais de substitution), l’indice géométrique de Laspeyres donnera une meilleure approximation de l’indice des prix des intrants que de l’indice de Laspeyres chaque fois que l’erreur d’approximation de l’indice géométrique est positive.

Dans de nombreux cas, l’indice de Fisher ou de Törnqvist offre une meilleure approximation à un indice des prix des intrants que l’indice de Laspeyres ou l’indice géométrique de Laspeyres. L’argument pour lequel ces indices peuvent être une meilleure approximation est plus complexe — voir ILO et al. (2004aChapitre 17) et ILO et al. (2004bChapitre 17) pour plus de détails. Le coût de cette meilleure approximation, cependant, est le besoin de plus d’informations sur les quantités de la période \(t\), qui peuvent ou non être disponibles au moment où l’indice est réellement calculé.19

  1. Cela découle du lemme de Shephard (McFadden 1978), ce qui implique que \(e(p_{t}, y_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} p_{it} q_{i0} + \eta (p_{t} - p_{0}) || p_{t} - p_{0} ||\), où \(\eta(p_{t} - p_{0}) \rightarrow 0\) lorsque \(p_{t} \rightarrow p_{0}\).↩︎

  2. Dans certains cas, ces approximations sont exactes. Un indice de Laspeyres sera un véritable indice des prix des intrants si l’entreprise a une fonction de production Leontief; un indice de Fisher sera également exact dans ce cas. De même, un Laspeyres géométrique sera un véritable indice des prix des intrants si l’entreprise a des fonctions de production Cobb-Douglas; un indice de Törnqvist sera également exact dans ce cas. L’indice de prix de Lloyd-Moulton est un cas intéressant car il est exact chaque fois que l’entreprise a une élasticité constante de la fonction de production de substitution, mais il ne nécessite que des informations sur la quantité pour la période 0.↩︎