Des indices de prix plus généraux

Les indices arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers d’une classe plus large d’indices de prix qui résolvent le problème de prédiction suivant:

\[\begin{align*} \min_{I} E\left[\left(\left(\frac{p_{t}}{p_{0}} \right)^{r} - I^{r} \right)^{2} \right], \end{align*}\]

pour certains \(r \neq 0\). La solution à ce problème est \(I = E((p_{t} / p_{0})^{r})^{1 / r}\). Fixer \(r = 1\) donne un indice arithmétique, alors que prendre \(r \rightarrow 0\) donne un indice géométrique (Bullen 2003, III 1 Theorem 2).

Ce qui est utile dans cette approche, c’est que de nombreux autres types d’indices de prix correspondent à différents choix de \(r\), et ceux-ci peuvent à leur tour être motivés pour résoudre un type de problème de prédiction. La définition de \(r = -1\), par exemple, produit un indice de prix harmonique

\[\begin{align*} I^{H} = \left(\sum_{i = 1}^{n} \frac{P_{i}}{p_{it} / p_{i0}} \right)^{- 1}. \end{align*}\]

Lorsque la probabilité d’observer un bien est donnée par sa part de dépenses période-\(t\), il s’agit de l’indice de Paasche. Fixer \(r = 1 - \sigma\), où \(\sigma\) est l’élasticité de substitution, donne l’indice de prix de Lloyd-Moulton

\[\begin{align*} I^{LM} = \left(\sum_{i = 1}^{n} P_{i} \left(\frac{p_{it}}{p_{i0}} \right)^{1 - \sigma } \right)^{1 / (1 - \sigma)} \end{align*}\]

lorsque les probabilités sont des dépenses / recettes pour la période 0.

Un point intéressant à propos de ces types d’indices de prix plus généraux est que, pour un ensemble de pondérations donné, la valeur de l’indice est plus grande lorsque le paramètre \(r\) augmente (Bullen 2003, III 3.1 Theorem 1). Cela donne le résultat familier qu’un indice arithmétique est plus grand qu’un indice géométrique, qui à son tour est plus grand qu’un indice harmonique, mais il peut également être utilisé pour classer des types d’indices plus exotiques comme l’indice Lloyd-Moulton.