Chevauchement

Pour agréger les sous-indices de chaque strate en un indice de prix global, il faut que \(0 <P (t = 1 | X = x) <1\) — cela signifie que, pour chaque strate, certains biens doivent vendre à chaque période. Il s’agit de la condition de chevauchement (ou de soutien commun) qui garantit qu’un indice des prix peut être construit pour chaque strate. Contrairement à l’indépendance conditionnelle, le chevauchement est vérifiable.

Lorsque la condition de chevauchement tient, avec l’indépendance conditionnelle,

\[\begin{align*} \log (I^{Q}) &= E(\rho(1)) - E(\rho(0)) \\ &= E[E(\rho(1) | X) - E(\rho(0) | X)] \\ &= E[E(\rho(1) | X, t = 1) - E(\rho(0) | X, t = 0)] \\ &= E[E(\rho | X, t = 1) - E(\rho | X, t = 0)], \end{align*}\]

pour que

\[\begin{align*} I^{Q} = \prod_{x} (I^{T}_{x})^{P(X = x)}. \end{align*}\]

L’indice de qualité constante est simplement un produit pondéré de chaque sous-indice, calculé avec les prix de transaction, où les pondérations correspondent à la probabilité qu’un bien appartienne à une strate particulière. Toutes ces informations sont observables, et donc l’indice de qualité constante est identifié.