Exemples de compteur
Pour la plupart, il est difficile de noter un prix décent à mi-chemin qui ne satisfait pas aux cinq axiomes de la section précédente. Les exemples pathologiques abondent, mais il est plus intéressant de regarder des cas raisonnables où une formule d’indice ne satisfait pas tous les axiomes.11 Deux exemples intéressants d’indices de prix raisonnables qui ne satisfont pas aux cinq axiomes sont l’indice de Dutot et l’indice de valeur médiane (c’est-à-dire l’indice qui prend le prix médian relatif).
L’indice de Dutot satisfait tous les axiomes sauf l’invariance dimensionnelle, tandis que l’indice de valeur moyenne satisfait tous les axiomes sauf la monotonie. Pour voir pourquoi l’indice Dutot ne satisfait pas à l’invariance dimensionnelle, supposons qu’il n’y a que deux biens (c’est-à-dire \(n = 2\)) avec \(p_{1t} = 1\), \(p_{2t} = 2\) et \(p_{10} = p_{20} = 1\), et avec
\[\begin{align*} A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. \end{align*}\]
Dans ce cas
\[\begin{align*} I(Ap_{t}, Ap_{0}, A^{- 1} q_{t}, A^{- 1} q_{0}) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 2}{1 \times 1 + 2 \times 1} = 5/3 \end{align*}\]
et
\[\begin{align*} I(p_{t}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) = \frac{1 + 2}{1 + 1} = 3/2 \neq I(Ap_{t}, Ap_{0}, A^{-1} q_{t}, A^{-1} q_{0}), \end{align*}\]
échouant ainsi l’axiome d’invariance dimensionnelle. Cela officialise simplement le problème bien connu de l’indice Dutot selon lequel tous les biens et services doivent être mesurés dans les mêmes unités pour être utiles.
Pour voir que l’indice de prix médian ne satisfait pas à la monotonie, supposons qu’il existe 3 biens tels que \(p_{1t} = 1\), \(p_{2t} = 2\), \(p_{3t} = 3\) et \(p_{10} = p_{20} = p_{30} = 1\). L’indice médian renvoie la valeur 2 (le prix médian relatif). Maintenant, si \(p'_{1t} = 1\), \(p' _{2t} = 2\) et \(p'_{3t} = 4\), l’index médian renvoie toujours 2; les prix ont augmenté, mais la valeur de l’indice reste la même.
Deux cas pathologiques intéressants ont à voir avec l’échec de la monotonie pour les indices géométriques Laspeyres et Paasche. Bien que le Laspeyres géométrique augmente toujours dans les prix de la période-\(t\), il peut également augmenter dans les prix de la période-0. Pour cela, il faut que \(p_{i1} / p_{i0} \geq \exp(1) I(p_{1}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) \approx 2,72 I(p_{1}, p_{0}, q_{t}, q_{0})\) pour au moins un bon \(i\), de sorte qu’au moins certaines marchandises subissent un changement de prix qui est considérablement plus grand que le changement de prix pour les autres marchandises. De même, si le Paasche géométrique diminue toujours dans les prix de la période 0, il peut également diminuer dans les prix de la période \(t\). Pour que cela soit nécessaire, il faut que \(p_{i1} / p_{i0} \leq I(p_{1}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) / \exp(1) \approx I(p_{1}, p_{0}, q_{t}, q_{0}) / 2,72\) pour au moins un bon \(i\). Voir Balk (2008Section 3.12).↩︎