Indice des prix à la production
Un indice des prix à la production est analogue à un indice des prix des intrants; la seule différence est que l’indice compare la valeur de la production au fil du temps, plutôt que le coût des intrants, en maintenant les conditions économiques fixes. À cette fin, un indice des prix à la production compare le revenu maximal qu’une entreprise représentative pourrait recevoir à deux moments dans le temps, étant donné un ensemble fixe d’intrants pour la production.
En modifiant la notation de la section précédente, que \(p\) soit le prix des sorties \(y\), plutôt que le prix des entrées \(q\). En prenant des intrants fixés à \(q\), une entreprise qui maximise ses profits choisit ses sorties \(y\) pour maximiser ses revenus, étant donné les prix \(p\). Cela se traduit par la fonction de revenu de l’entreprise, \(r(p, q)\), qui donne le revenu maximal que l’entreprise pourrait gagner étant donné les prix du marché et une quantité fixe d’intrants.17 Comme pour un indice de prix d’entrée, l’indice de prix de sortie est défini comme
\[\begin{align*} I^{R} = \frac{r(p_{t}, q_{0})}{r(p_{0}, q_{0})}. \end{align*}\]
Un indice des prix à la production mesure la valeur de la production d’une entreprise au fil du temps, compte tenu d’une quantité fixe d’intrants.
Contrairement à un indice des prix des intrants, un indice des prix des extrants est toujours plus grand qu’un indice de Laspeyres. Dans la période 0, les revenus d’une entreprise sont tout simplement
\[\begin{align*} r(p_{0}, q_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i0} y_{i0}; \end{align*}\]
la valeur de la fonction de revenu de la période 0 est simplement la période de revenu observable 0, sinon l’entreprise ne pourrait pas fonctionner pour maximiser le profit de la période 0. Maintenant, dans la période \(t\),
\[\begin{align*} r(p_{t}, q_{0}) \geq \sum_{i = 1}^{n} p_{it} y_{i0} \end{align*}\]
car l’entreprise produira relativement plus de produits dont le prix a augmenté, tout en utilisant la même quantité d’intrants. L’entreprise se substitue à des productions moins rentables, ce qui ne se reflète pas dans le choix de l’entreprise pour la production de la période 0. Par conséquent,
\[\begin{align*} \frac{r(p_{t}, q_{0})}{r(p_{0}, q_{0})} = \frac{r(p_{t}, q_{0})}{\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} y_{i0}} \geq \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{it} y_{i0}}{\sum_{i = 1 }^{n} p_{i0} y_{i0}}; \end{align*}\]
un indice de Laspeyres sous-estime une augmentation des prix dans le temps car il ne prend pas en compte la substitution des sorties dans le temps qui fait partie de l’indice des prix des sorties. Il s’agit de la direction opposée du biais de substitution pour un indice des prix des intrants, et signifie que la direction du biais de substitution dépend de ce que l’indice des prix tente de mesurer.
Formellement, \(r(p, q) = \max_{y \in Y (q)} p \cdot y\), où \(Y(q)\) est l’ensemble des sorties qui produisent avec au plus \(q\) unités d’entrée. Cette fonction est bien définie dans des conditions de régularité assez douces sur l’ensemble \(Y(q)\) (c’est-à-dire qu’elle est compacte) — voir McFadden (1978).↩︎