Factorisation d’un index

Lorsqu’il est calculé sur plusieurs périodes, un indice des prix donne une mesure de la variation des prix dans le temps par rapport à une période de base fixe. Le calcul d’un indice de prix sur de nombreuses périodes ne pose pas de nouveaux défis — une fois qu’une période de base est sélectionnée, l’une des formules de nombre d’index dans la section précédente peut être directement appliquée pour produire un indice qui évolue au fil du temps en formant simplement des parents de prix qui calculez toujours la variation du prix par rapport à la période de base. Par exemple, la série d’indices géométriques calculés sur les périodes 0, 1 et 2, avec la période 0 comme période de base, est

\[\begin{align*} 1, \prod_{i = 1}^{n} \left (\frac{p_{i1}}{p_{i0}} \right)^{\omega_{i}}, \prod_{i = 1}^{n} \left (\frac{p_{i2}}{p_{i0}} \right)^{\omega_{i}}. \end{align*}\]

Ainsi, la valeur de l’indice de la période 1 donne la variation des prix entre la période 1 et la période 0, et l’indice de la période 2 donne la variation des prix entre la période 2 et la période 0. La valeur de la période 0 est 1 car le rapport des prix de la période 0 à la période 0 prix est toujours 1.

La plupart des indices de prix sont calculés fréquemment — généralement mensuellement ou trimestriellement — et il est utile de pouvoir calculer un indice de prix en utilisant uniquement la valeur d’indice de la période précédente et les prix relatifs les plus récents pour chaque bien couvert par l’indice.^ [L’une des raisons est que cela peut faciliter l’échantillonnage des informations sur les prix, car les mêmes unités n’ont pas besoin d’être échantillonnées à la fois pour la période actuelle et la période de base.] C’est-à-dire qu’il est utile de pouvoir factoriser un indice en deux termes : la valeur de l’indice de la période précédente et un indice qui dépend uniquement des prix de la période en cours et des prix de la période précédente. Une telle factorisation permet de calculer un indice période par période et évite d’avoir à conserver les données de prix pendant la période de base pendant la durée de vie d’un indice. Ceci est pratiquement significatif, car cela signifie qu’un indice peut toujours être produit même si les données de prix de la période de base sont perdues.

La factorisation d’un indice géométrique est triviale; pour un ensemble de poids donné, l’index géométrique qui va de la période 0 à la période \(t\) peut toujours être écrit comme le produit de l’index géométrique qui va de la période 0 à la période \(k\) et de l’index géométrique qui va de la période \(k\) à la période \(t\). C’est,

\[\begin{align*} I^{G}(0, t) & = \prod_{i = 1}^{n} \left (\frac{p_{it}}{p_{i0}} \right)^{\omega_i} \\ & = \prod_{i = 1}^{n} \left (\frac{p_{ik}}{p_{i0}} \right)^{\omega_i} \times \prod_{i = 1}^{n } \left (\frac{p_{it}}{p_{ik}} \right)^{\omega_i} \\ & = I^{G}(0, k) \times I^{G}(k, t). \end{align*}\]

Cela devrait être profondément intuitif. Si les prix ont augmenté de 20% entre la période 0 et la période \(k\), puis augmentent de 10% supplémentaires entre la période \(k\) et la période \(t\), l’augmentation totale du prix de la période 0 à la période \(t\) est de 32%. Cela revient à multiplier une valeur d’index de 1,2 par une valeur d’index de 1,1, car le résultat est 1,32.

La factorisation d’un indice arithmétique est légèrement plus complexe, car elle nécessite de modifier les pondérations utilisées pour agréger les prix relatifs. L’index arithmétique qui s’étend de la période 0 à la période \(t\) peut être écrit comme

\[\begin{align*} I^{A}(0, t) & = \sum_{i = 1}^{n} \omega_{i} \frac{p_{it}}{p_{i0}} \\ & = I^{A}(0, k) \times \sum_{i = 1}^{n} \tilde{\omega}_{i} \frac{p_{it}}{p_{ik}}, \end{align*}\]

où

\[\begin{align*} \tilde{\omega}_{i} = \frac{\omega_{i} \frac{p_{ik}}{p_{i0}}}{I^{A}(0, k)}. \end{align*}\]

Contrairement à l’index géométrique, la factorisation d’un index arithmétique nécessite de changer les pondérations de l’index allant de la période \(k\) à \(t\). Parfois, cela s’appelle le prix mettant à jour les poids, mais cette terminologie est utilisée de manière incohérente. Malgré cette ride, cependant, l’idée de base est la même que dans le cas géométrique — un indice arithmétique peut toujours être décomposé en deux indices arithmétiques.

Intuitivement, la factorisation d’un indice bricole simplement la valeur de l’indice dans la période de base afin qu’il puisse continuer à partir d’une valeur précédente sans avoir besoin d’être recalculé dès le départ. Plutôt que de commencer l’indice à la valeur 1 de la période \(k\), il part de la valeur de l’indice de la période \(k\), s’appuyant essentiellement sur la variation cumulative des prix jusqu’à ce moment-là.