Les indices de prix géométriques comme meilleur prédicteur
Un indice géométrique peut être motivé de la même manière qu’un indice arithmétique. Formellement, un index géométrique est la valeur \(I^{G}\) qui résout
\[\begin{align*} \min_{I} E\left[\left(\log\left(\frac{p_{t}} {p_{0}} \right) - \log(I) \right)^{2} \right] , \end{align*}\]
la solution à laquelle est \(I^{G} = \exp(E[\log (p_{t} / p_{0})])\). Mais ce n’est qu’un index géométrique, comme
\[\begin{align*} \exp\left(E\left[\log \left(\frac{p_{t}} {p_{0}} \right) \right] \right) & = \exp \left(\sum_{i = 1}^{n} P_{i} \log \left(\frac{p_{it}} {p_{i0}} \right) \right) \\ &= \prod_{i = 1}^{n} \left(\frac{p_{it}}{p_{i0}} \right)^{P_{i}}, \end{align*}\]
avec des poids égaux à la probabilité d’observer un prix relatif. Il convient de noter qu’en raison des logarithmes du problème de prédiction, un indice géométrique peut également être motivé par la recherche d’une valeur \(I^{G}\) telle que \(I^{G} \times p_{i0}\) prédit le mieux \(p_{it}\) (ou \(p_{it} / I^{G}\) prédit le mieux \(p_{i0}\)). Il s’agit d’une propriété non partagée avec les indices arithmétiques. Alors qu’un indice arithmétique prédit les variations de prix au fil du temps, un indice géométrique prend le prix d’un bien pendant la période 0, le gonfle / le dégonfle avec l’indice des prix et utilise le résultat pour prédire le prix de ce bien pendant la période \(t\). Par conséquent, un indice géométrique s’intègre mieux dans l’approche stochastique car il correspond directement à la façon dont un indice des prix est utilisé pour gonfler et dégonfler les prix dans le temps dans la pratique.23
L’indice de Törnqvist apparaît généralement comme le meilleur indice de l’approche stochastique car il sélectionne une valeur sensible pour représenter la probabilité d’observer un prix relatif. L’idée derrière les probabilités de Törnqvist est que la probabilité d’observer un prix particulier relatif à un bien dépend de la part des dépenses / revenus de ce bien sur les deux périodes. Ainsi, l’indice de Törnqvist définit les probabilités sous forme de parts de dépenses moyennes:
\[\begin{align*} P_{i} = \frac{1}{2} \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}} + \frac{1}{2} \frac{p_{it} q_{it}}{\sum_{j = 1}^{n} p_{jt} q_{jt}}. \end{align*}\]
L’inconvénient de ces probabilités est qu’elles nécessitent des informations pour les parts des dépenses / recettes de la période 0 et de la période \(t\), ce qui peut ne pas être connu au moment du calcul de l’indice.
Motiver un indice des prix pour résoudre le problème \(\min_{I} E[(p_{t} - p_{0} I)^{2}]\) donne \(I = E(p_{t} p_{0}) / E(p_{0}^{2})\), qui est un indice des prix assez inhabituel.↩︎