Inférence statistique
Dans la pratique, la distribution complète des prix relatifs n’est généralement pas connue et un indice est calculé à partir d’un échantillon de prix collectés auprès des producteurs ou des détaillants. Cela signifie que les valeurs de l’indice sont calculées avec un estimateur pour \(I^{A}\) ou \(I^{G}\), selon qu’un indice arithmétique ou géométrique est l’indice cible. Bien que les sujets de l’échantillonnage et de l’inférence statistique se compliquent rapidement et dépassent le cadre de ce cours, il convient d’examiner comment les indices arithmétiques et géométriques se comportent lorsqu’ils sont calculés avec un échantillon aléatoire de données de prix.24 L’un des avantages de l’approche stochastique est qu’elle donne un aperçu du problème d’estimation d’un indice de prix avec un échantillon.
Avec l’échantillonnage aléatoire, une approche naturelle pour estimer l’indice arithmétique consiste à remplacer la valeur attendue — une moyenne de population — par la moyenne de l’échantillon. Cela donne un estimateur de la méthode des moments \(\hat {I}^A = 1 / n_{s} \sum_{i = 1}^{n_{s}} p_{it} / p_{i0}\), où \(n_{s}\) est la taille de l’échantillon, qui n’est qu’un index Carli. Si les parents de prix sont échantillonnés au hasard, alors il est facile de voir que \(E(\hat {I}^{A}) = I^{A}\), donc l’indice de Carli est un estimateur sans biais pour l’indice arithmétique.
Un estimateur naturel pour l’indice géométrique est \(\hat{I}^{G} = \prod_{i = 1}^{n_{s}} (p_{it} / p_{i0})^{1 / n_{s}}\), l’index Jevons. Contrairement à l’indice de Carli, cependant, l’indice de Jevons est un estimateur biaisé de l’indice géométrique. Il est à nouveau simple de montrer que \(E(\hat{I}^{G}) \geq I^{G}\), avec \(E(\hat{I}^{G}) = I^{G}\) ne tenant que dans des circonstances très particulières — l’indice de Jevons surestime systématiquement l’indice géométrique (c’est-à-dire qu’il est biaisé à la hausse).25 Bien que le biais soit un inconvénient de l’indice de Jevons, le biais n’est pas la seule propriété statistique importante d’un estimateur, et l’indice de Jevons a d’autres propriétés statistiques souhaitables (par exemple, c’est une constante estimateur de l’indice géométrique et, dans certaines circonstances, atteint le maximum d’efficacité de vraisemblance lié).26 Il est possible d’ajuster le biais à la hausse des Jevons en divisant les Jevons index par \(1 + \sigma^{2} / (2n)\), où \(\sigma^{2}\) est la variance des logarithmes du prix (Kennedy 2003, 41), mais cela n’est généralement pas fait dans la pratique.
Voir Balk (2008Chapitre 5) pour une introduction à l’échantillonnage et à l’inférence statistique pour les indices de prix.↩︎
L’indice de Jevons n’est pas biaisé dans les cas où la distribution d’échantillonnage est dégénérée, ou la variance des prix relatifs est zéro. Voir Lehmann and Casella (1998Chapitre 1 Théorème 7.5).↩︎
L’indice de Carli est également un estimateur cohérent de l’indice arithmétique sous échantillonnage aléatoire, mais il ne peut pas être un estimateur du maximum de vraisemblance car cela nécessiterait des prix apparentés d’avoir une distribution gaussienne, ce qui signifie que les prix relatifs peuvent être négatifs. En revanche, l’indice de Jevons est un estimateur du maximum de vraisemblance pour l’indice géométrique si les parents de prix ont une distribution log-normale, ce qui implique que les prix sont toujours positifs.↩︎