Indices arithmétiques des prix
Un indice arithmétique des prix prend les prix relatifs pour une collection de biens et services sur deux périodes et les combine ensemble comme moyenne pondérée. Autrement dit, un indice arithmétique est simplement la variation moyenne du prix entre deux points dans le temps. Laissant les marchandises être énumérées par \(i = 1, \ldots, n\), un index arithmétique entre la période 0 et la période 1 a la forme générale2
\[\begin{align*} I^{A} = \sum_{i = 1}^{n} \omega_{i} \frac{p_{i1}}{p_{i0}}, \end{align*}\]
où \(p_{it}\) est le prix du bon \(i\) dans la période \(t = 0,1\), et \(\omega_{i} \geq 0\) est le poids que le bon \(i\) reçoit dans le calcul de l’indice, tel que \(\sum_{i = 1}^{n} \omega_{i} = 1\).
Différents indices de prix arithmétiques correspondent à des cas particuliers de l’indice arithmétique général, selon le choix des pondérations. La plupart de ces choix utilisent des informations sur la quantité d’un bien vendu, de sorte que les poids donnent une mesure de l’importance économique d’un bien. Notons \(q_{it}\) la quantité de bon \(i\) consommée / produite dans la période \(t = 0,1\).
Avant d’examiner des indices arithmétiques spécifiques, il convient de noter qu’un indice arithmétique peut toujours être écrit comme le rapport des dépenses / recettes pour un “panier” de biens et services à deux points dans le temps, de sorte que pour tout ensemble de pondérations, il est implicite “quantités” telles que
\[\begin{align*} I^{A} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} p_{i1} \tilde{q}_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} p_{i0} \tilde{q}_{i}}, \end{align*}\]
où \(\tilde{q}_{i} = \alpha \omega_{i} / p_{i0}\) pour un certain facteur de proportionnalité \(\alpha\).3 Ainsi, un indice arithmétique peut toujours être interprété comme le rapport des dépenses nécessaires à l’achat d’un panier fixe de biens à deux moments (ou les revenus d’un panier fixe de biens à deux moments). Le choix du panier est lié un à un au choix des pondérations utilisées pour agréger les prix relatifs. Les deux représentations de l’indice arithmétique sont utilisées, car certains indices sont plus faciles à représenter sous une forme que l’autre.
La lettre majuscule sigma \(\Sigma\) est l’opérateur de sommation. Pour une collection de nombres \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\), \(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}\) signifie \(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}\).↩︎
La valeur de \(\alpha\) n’a aucun impact sur l’indice, mais est nécessaire pour que la propriété interprète \(\tilde{q}_{i}\) comme une quantité. Par exemple, si \(\omega_{i}\) est la part des dépenses de la période 0 sur les bons \(i\), \(p_{i0} q_{i0} / \sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}\), puis \(\alpha = \sum_{j = 1}^{n} p_{j0} q_{j0}\) pour que \(\tilde{q}_{i} = q_{i0}\).↩︎